Zadání

Na\ kouli\ o\ poloměru\ r\ je\ nasunut\ plášť\ rovnostranného\ kužele\ tak,\ že\ hrana\ pláště\ se\ dotýká\ koule\ a\ povrchová\ přímka\
(strana)\ pláště\ je\ tečnou\ koule.\ Jaký\ je\ objem\ prostoru,\ který\ je\ uzavřen\ mezi\ koulí\ a\ pláštěm\ kužele?

Řešení

1) osový řez

d = |SV|

r

v = |CD|

β

Z\ vlastnosti\ ronostranného\ trojúhelníka\ víme,\ že\ úhel\ β = 30°\
a\ Δ SBV\ je\ pravoúhlý.\
Proto\ sin\,β = \frac{r}{d}, sin\,30°= \frac{1}{2}\
d = 2r.

2) trojúhelník SVB

D

B

V

d

r_1

S

r

β

C

v

Abych\ spočetla\ objem\ kulového\ vrchlíku\ (\frac{1}{6}πv·(3r_1^2+v^2))\
potřebuji\ znát\ jeho\ výšku = v\ a\ poloměr = r_1.\
Výšku\ spočítám\ z\ ΔSVB\ pomocí\ Euklidovy\ věty\ o\ odvěsně: a^2 = c·c_a.\
r^2 = (r-v)·d\
v = \frac{r}{2}.\
Poloměr\ r_1\ z\ pravoúhlého\ Δ SBD:\
cos\,β=\frac{r_1}{r}\
r_1 = \frac{\sqrt{3}r}{2}

3) velikost kulové úseče (v) a r_1

β

4) objem vrchlíku a kužele

V_{vrchlíku}=\frac{1}{6}πv·(3r_1^2+v^2) = \frac{1}{6}π·\frac{r}{2}((\frac{\sqrt{3}r}{2})^2+(\frac{r}{2})^2)\
V_{vrchlíku} = \frac{5}{24}πr^3

V_{kužele}= \frac{1}{3}πr^2v.\
Výška\ kužele\ z\ ΔSVB = d-\frac{r}{2} = \frac{3}{2}r\
a\ r = r_1.\ Dosazením\ dostáváme:\
V_{kužele}=\frac{1}{3}π·\frac{3}{4}r^2·\frac{3}{2}r = \frac{3}{8}πr^3.

Výsledek: V_{kužele}- V_{vrchlíku} = \frac{1}{6}πr^3

5) výsledek

S

V

D

A

B

C

r

r_1

a = true
b = false
c = false
r = 2 (slider from 1 to 15, step 1)
S = (2.68, -0.56)
d_1 = Circle(S, r)
f = OrthogonalLine(S, xAxis)
d = 3.9 (slider from 1 to 15, step 0.1)
e = Circle(S, d)
V = Intersect(e, f, 2)
g, h = Tangent(V, d_1)
A = Intersect(d_1, g, 1)
B = Intersect(d_1, h, 1)
i = Segment(V, B)
j = Segment(B, A)
k = Segment(A, V)
D = Midpoint(A, B)
l = Segment(V, S)
C = Intersect(d_1, l, 1)
m = Segment(S, B)
α = Angle(V, B, S)
r_1 = Segment(D, B)
v = Segment(D, C)
β = Angle(C, V, B)
γ = Angle(D, B, S)
n = false
E = (5.64, -0.54)
p = Line(E, xAxis)
o = Distance(B, D)
q = Circle(E, o)
F = Intersect(q, p, 2)
s = OrthogonalLine(E, p)
t = Distance(D, V)
c_1 = Circle(E, t)
G, H = Intersect(c_1, s)
f_1 = Segment(H, E)
g_1 = Segment(E, F)
h_1 = Segment(F, H)
e_1 = Circle(F, r)
I = Intersect(e_1, s, 1)
i_1 = Segment(E, I)
j_1 = Segment(I, F)
δ = Angle(H, F, I)
ε = Angle(E, H, F)
k_1 = Circle(I, r)
J = Intersect(k_1, f_1, 1)
l_1 = Segment(E, J)
u = false
ζ = Angle(E, F, I)
η = Angle(I, E, F)
w = false
a_1 = false
K = Intersect(yAxis, zAxis)
b_1 = Sphere(K, r)
m_1 = Sphere(K, d)
L, M = Intersect(zAxis, m_1)
n_1 = Sphere(M, t)
N, O = Intersect(zAxis, n_1)
o_1, p_1, q_1 = Cone(N, M, o)
P = Point(p_1)
Q = Point(p_1)
s_1 = Plane(N, P, Q)
t_1 = Line(Q, P)
f_2 = Line(N, t_1)
R = Intersect(f_2, s_1)
g_2 = Segment(K, M)
T = Point(p_1)
U = Point(f_2)
h_2 = Segment(T, U)
W = Intersect(g_2, b_1)
i_2 = Segment(K, U)
j_2 = Segment(N, U)